If เป็นลบ (บาร์บีคิว / p) สูตรให้ผลลบแสดงให้เห็นว่านักการพนันควรจะใช้ในด้านอื่น ๆ ของการเดิมพัน. ยกตัวอย่างเช่นในรูเล็ตมาตรฐานอเมริกันนักพนันที่มีการเสนอผลตอบแทนเงินได้ (ข 1) สีแดงเมื่อมีตัวเลขสีแดง 18 และ 20 ตัวเลขที่ไม่ใช่สีแดงบนล้อ (p 18/38)ทางออกที่เคลลี่เป็น -1/19 หมายถึงนักพนันควรเดิมพันหนึ่งที่สิบเก้าของแบ๊งค์ของเขาว่าสีแดงจะไม่เกิดขึ้นแต่น่าเสียดายที่คาสิโนไม่อนุญาตให้มีการพนันกับบางสิ่งบางอย่างขึ้นมาเพื่อให้นักการพนันเคลลี่ไม่สามารถวางผลทั่วไป bet. The ชี้แจงเหตุผลการใช้ประโยชน์ (การกู้เงินที่จะลงทุน) ลดลงส่วนที่ดีที่สุดที่จะลงทุนเช่นในกรณีที่เห็นได้ชัดว่าไม่ว่าขนาดใหญ่น่าจะเป็นของความสำเร็จคือถ้ามีขนาดใหญ่พอที่ส่วนที่ดีที่สุดที่จะลงทุนเป็นศูนย์ดังนั้นการใช้อัตรากำไรมากเกินไปไม่ได้เป็นกลยุทธ์การลงทุนที่ดีไม่ว่าวิธีการที่ดีของนักลงทุนที่คุณ are. When ข 1, เคลลี่นักพนันเดิมพัน 2p - 1 ครั้งเริ่มต้นความมั่งคั่ง, W, ที่แสดงข้างต้นถ้าเขาชนะเขามี 2PWถ้าเขาสูญเสียเขามี 2 (1 - P) Wสมมติว่าเขาจะทำให้ไม่มีการเดิมพันเช่นนี้และชนะ K ส่วนของพวกเขาคำสั่งของผู้ชนะและการสูญเสียไม่ว่าเขาจะต้อง: นี่แสดงให้เห็นว่าเคลลี่มีทั้งที่กำหนดและเป็นองค์ประกอบสุ่มถ้าใครรู้ว่าเคและ n และมีความประสงค์ที่จะรับส่วนคงที่ของความมั่งคั่งที่จะเดิมพันในแต่ละครั้ง (มิฉะนั้นใครจะโกงและยกตัวอย่างเช่นเดิมพันศูนย์หลังจากที่ Kth ชนะรู้ว่าส่วนที่เหลือของการเดิมพันที่จะสูญเสีย) หนึ่งจะจบลงที่มีเงินมากที่สุดหากมีการเดิมพัน: ในแต่ละครั้งนี้เป็นจริงว่า N คือขนาดเล็กหรือใหญ่ส่วนระยะยาวของเคลลี่เป็นสิ่งจำเป็นเพราะ K ไม่เป็นที่รู้จักล่วงหน้าเพียงว่ายังไม่มีข้อความที่ได้รับขนาดใหญ่ K จะเข้าใกล้ PNคนที่เดิมพันมากกว่าเคลลี่สามารถทำได้ดีกว่าถ้า K PN สำหรับคนที่ยืดเดิมพันน้อยกว่าเคลลี่สามารถทำได้ดีกว่าถ้า K PN สำหรับยืด แต่ในระยะยาว, เคลลี่เสมอ wins. In ทดลองใช้เพียงครั้งเดียวถ้าคุณลงทุนส่วนของเงินทุนของคุณถ้าคุณประสบความสำเร็จในกลยุทธ์ซึ่งเป็นเมืองหลวงของคุณในตอนท้ายของการเพิ่มขึ้นของการพิจารณาคดีโดยปัจจัยและเช่นเดียวกันถ้ากลยุทธ์ที่ล้มเหลวคุณจบลงด้วยการที่มีเงินทุนของคุณลดลงปัจจัยดังนั้นในตอนท้ายของการทดลอง (กับความสำเร็จและความล้มเหลว) ที่เงินทุนเริ่มต้น 1 yieldsFor การอภิปรายรายละเอียดของสูตรนี้สำหรับกรณีทั่วไปให้ดู12 มีก็จะเห็นได้ว่าทดแทนสำหรับอัตราส่วนของจำนวนของความสำเร็จกับจำนวนของการทดลองที่แสดงให้เห็นว่าจำนวนของการทดลองจะต้องมีขนาดใหญ่มากเนื่องจากมีการกำหนดเป็นขีด จำกัด ของอัตราส่วนนี้เป็นจำนวนของการทดลองไปไม่มีที่สิ้นสุด. ในช่วงสั้น ๆ การพนันในแต่ละครั้งมีแนวโน้มที่จะเพิ่มอัตราการเจริญเติบโตความมั่งคั่งเฉพาะในกรณีที่จำนวนของการทดลองที่มีขนาดใหญ่มากและและจะเหมือนกันสำหรับแต่ละการทดลองในทางปฏิบัตินี้เป็นเรื่องของการเล่นเกมเดียวกันกว่าและมากกว่าที่น่าจะเป็นของรางวัลและการต่อรองผลตอบแทนที่มีความเสมอกันในการแก้ปัญหาดังกล่าวข้างต้นพิสูจน์ความสำเร็จและความล้มเหลวมีแนวโน้มที่สูงเฉพาะในหัวเรื่องที่มีขนาดใหญ่มากบทความ 1738, แดเนียล Bernoulli ชี้ให้เห็นว่าเมื่อมีทางเลือกของการเดิมพันหรือการลงทุนอย่างใดอย่างหนึ่งควรเลือกที่มีค่าเฉลี่ยเรขาคณิตสูงสุดของผลลัพธ์นี่คือทางคณิตศาสตร์เทียบเท่ากับเกณฑ์เคลลี่ถึงแม้ว่าแรงจูงใจที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง (Bernoulli ต้องการที่จะแก้ไขความขัดแย้งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก).Kellys เกณฑ์อาจจะทั่วไป 14 การเล่นการพนันต่อผลลัพธ์พิเศษร่วมกันมากเช่นในการแข่งม้าสมมติว่ามีหลายผลพิเศษร่วมกันน่าจะเป็นที่ม้าที่ k ชนะการแข่งขันก็คือจำนวนของการเดิมพันที่วางอยู่บนม้าที่ k คือ andwhere มีอัตราต่อรองที่จ่ายออกเป็นอัตราการจ่ายเงินปันผลที่เป็นแทร็คที่จะใช้หรือภาษีที่เป็นอัตรารายได้หลังหักค่าใช้ติดตามเมื่อม้าที่ k ชนะส่วนของเงินทุนที่จะเล่นเดิมพันบนม้าที่ k คือเกณฑ์ Kellys สำหรับการเล่นการพนันที่มีหลายผลพิเศษร่วมกันจะช่วยให้ขั้นตอนวิธีในการหาชุดที่ดีที่สุดของผลที่มันมีเหตุผลที่จะเดิมพันและจะให้สูตรที่ชัดเจนในการหาเศษส่วนที่ดีที่สุดของความมั่งคั่งเล่นที่จะเดิมพันกับผลลัพธ์ที่รวมอยู่ในชุดที่ดีที่สุด.
